18 yaşında İngiliz piyanist Myra Hess (1890-1965) ile müzik çalışmak için Londra'ya giden ve daha sonra da İngiltere merkezli yaşayan sanatçı, ilk Wigmore Hall konserini 1961'de 21 yaşında verdi. O yıllarda üvey babasının soyadını kullanan ve Stephen Bishop olarak sahneye çıkan sanatçı daha sonra isminin başka bir Amerikalı besteci ile karıştırılıyor olması nedeniyle 1970'lerde Hırvat olan babasının soyadını kullanmaya başladı. Özellikle Beethoven, Brahms, Mozart ve Chopin yorumlarıyla hayranlık uyandıran Stephen Kovacevich, uzun yıllardır klasik müziğin uluslararası arenasında büyük orkestralar ve önemli şeflerle aynı sahneyi paylaşıyor.

Birlikte sahneye çıktığı orkestralar arasında San Francisco Senfoni Orkestrası, Rotterdam Filarmoni, BBC Senfoni Orkestrası, Montreal Senfoni Orkestrası, Bournemouth Senfoni Orkestrası, Yomiuri Nippon Senfoni Orkestrası, Sydney Senfoni Orkestrası gibi önemli orkestralar sayılabilir. Aynı sahneyi paylaştığı efsanevi şefler arasında ise Hans Graf, Bernard Haitink, Kurt Masur(1927-2015), Simon Rattle, Georg Solti (1912-1997) Colin Davis(1927-2013), David Zinman, Jacek Kaspszyk, John Nelson ve Vladimir Ashkenazy gibi isimler yer alıyor. Queen Elisabeth Hall International Piano Series, Verbier Festivali, Lugano Festivali, Hamburg'da Martha Argerich Festivali de Stephen Kovacevich'in sahneye çıktığı festivallerden bazıları.

Stephen Kovacevich, Jacqueline du Pré, Martha Agerich, Steven Isserlis, Nicola Benedetti, Nigel Kennedy, Lynn Harrell, Gautier Capuçon, Renaud Capuçon, Kyung-wha Chung, Truls Mørk, Emmanuel Pahud, Anna Larsson, Alina Ibragimova ve Philippe Graffin gibi dünyaca tanınmış isimlerle ortak çalışmalarda yer aldı.