Alexander Chaushian'ın ödüllerle dolu müzik kariyerinde Verona'daki Premio Mozart Yarışması "Birincilik Ödülü"; Hollanda'da düzenlenen Uluslararası Müzik Yarışması "Birincilik Ödülü"; Amerika'da geniş çaplı konserler vermesine olanak sağlayan New York'ta düzenlenen Young Concert Artists Yarışması 1997 "Birincilik Ödülü"; "Çellistler Aristokratı" olarak anılan Fransız çelist Pierre Fournier (1906-1986) anısına düzenlenen Pierre Fournier Ödülleri'nde 2001'de kazandığı "Özel Teşvik Ödülü" yer almakla birlikte isminin daha da tanınmasını sağlayan dünyanın en gözde yarışmalarından Moskova'da düzenlenen 12. Uluslararası Tchaikovsky Müzik Yarışması (2002) ve Münih'te düzenlenen ARD Uluslararası Müzik Yarışması (2005) gibi yarışmalarda aldığı dereceler oldu.

Alexander Chaushian'ın birlikte konserler verdiği orkestra ve topluluklar arasında Viyana Oda Orkestrası, Münih Oda Orkestrası, "the London Mozart Players", "the Academy of St Martin-in-the-Fields", İngiliz Kraliyet Filarmoni Orkestrası, Belçika Ulusal Kraliyet Orkestrası, Ermeni filarmoni orkestraları yer almaktadır. Berlin'de Kammermusiksaal, Milano'da Sala Verdi, Paris'te "Theatre de la Ville", Londra'da Wigmore Hall ve Queen Elizabeth Hall, Viyana'da Konzerthaus, Tokyo'da Suntory Hall, New York'ta Carnegie Hall ve Boston'da Symphony Hall da sanatçının sahneye çıktığı dünyanın prestijli mekanları arasında ilk akla gelen salonlar.

Birlikte aynı sahneyi paylaştığı müzisyenler arasında ise piyanist Yuja Wang, piyanist François-Frédéric Guy, flütist Emmanuel Pahud, keman virtüözleri Gidon Kremer, Levon Chilingirian, Dimitri Sitkovetsky, Julia Fischer, Christoph Poppen, viyolonselci David Geringas, viyolacı Yuri Bashmet gibi isimler yer alıyor. Efsanevi Yehudi Menuhin (1916-1999) ile de aynı sahneyi paylaşma fırsatı yakalamıştır. Çello ve piyano repertuarında piyanist Yevgeny Sudbin ile ikili olarak sahneye çıkan Alexander Chaushian, Tchaikovsky Trio'nun bir üyesi olarak da Pavel Vernikov ve Konstantin Bogino ile birlikte düzenli olarak aynı sahneyi paylaşmaktadır. Resital ve konserlerinin yanı sıra viyolonsel hocası olarak "Royal Academy of Music" üyesidir.